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Teoria de juegos ejercicios resueltos
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Dos empresas se fusionan en dos divisiones de una gran empresa y tienen que elegir el sistema informático que van a utilizar. En el pasado las empresas han utilizado sistemas diferentes, I y A; cada una prefiere el sistema que ha utilizado en el pasado. A ambas les irá mejor si utilizan el mismo sistema que si siguen utilizando sistemas diferentes.
Al elegir A en lugar de I, el jugador 1 obtiene una recompensa de 1 en lugar de 0, dada la acción del jugador 2. Por tanto, este perfil de acción no es un equilibrio de Nash. [Además, el jugador 2 puede aumentar su recompensa eligiendo I en lugar de A].
Al elegir I en lugar de A, el jugador 1 obtiene una recompensa de 2 en lugar de 0, dada la acción del jugador 2. Por lo tanto, este perfil de acción no es un equilibrio de Nash. Por lo tanto, este perfil de acción no es un equilibrio de Nash. [Además, el jugador 2 puede aumentar su recompensa eligiendo A en lugar de I].
Una empresa establecida y una recién llegada al mercado de tamaño fijo tienen que elegir la apariencia para un producto. Cada empresa puede elegir entre dos apariencias diferentes para el producto; llámelas X e Y. El productor establecido prefiere que el producto del recién llegado tenga un aspecto diferente al suyo (para que sus clientes no se sientan tentados a comprar el producto del recién llegado) mientras que el recién llegado
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Después de enseñar teoría de juegos (tanto a nivel de licenciatura como de posgrado) en la Universidad de California, Davis, durante 25 años, decidí organizar todo mi material de enseñanza en un libro de texto. Hay muchos libros de texto excelentes sobre la teoría de los juegos y apenas se necesita uno nuevo. Sin embargo, este libro de texto se distingue por dos cosas (1) es de acceso abierto y, por tanto, gratuito, 1 y (2) contiene un número inusualmente grande de ejercicios (un total de 165) con respuestas completas y detalladas.
“Intenté escribir el libro de forma que fuera accesible a cualquier persona con un mínimo de conocimientos matemáticos (álgebra de nivel de secundaria y algunas nociones elementales de probabilidad) y sin conocimientos previos de teoría de juegos. Sin embargo, el libro pretende ser riguroso e incluye varias pruebas. Creo que es apropiado para una clase de licenciatura avanzada en teoría de juegos y también para una clase de primer año de posgrado.”
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Este artículo trata del estudio matemático de los agentes optimizadores. Para el estudio matemático de los juegos secuenciales, véase Teoría de los juegos combinatorios. Para el estudio de los juegos de entretenimiento, véase Estudios de juegos. Para la serie de YouTube, véase MatPat. Para otros usos, véase Teoría de los juegos (desambiguación).
La teoría de los juegos es el estudio de los modelos matemáticos de las interacciones estratégicas entre agentes racionales[1]. Tiene aplicaciones en todos los campos de las ciencias sociales, así como en la lógica, la ciencia de los sistemas y la informática. Originalmente, se ocupaba de los juegos de suma cero entre dos personas, en los que las ganancias o pérdidas de cada participante se equilibran exactamente con las de los demás. En el siglo XXI, la teoría de los juegos se aplica a una amplia gama de relaciones de comportamiento, y ahora es un término que engloba la ciencia de la toma de decisiones lógicas en humanos, animales y ordenadores.
La teoría de juegos moderna comenzó con la idea de los equilibrios de estrategia mixta en un juego de suma cero para dos personas y su demostración por John von Neumann. La prueba original de Von Neumann utilizó el teorema del punto fijo de Brouwer sobre mapeos continuos en conjuntos convexos compactos, que se convirtió en un método estándar en la teoría del juego y la economía matemática. Su artículo fue seguido por el libro de 1944 Theory of Games and Economic Behavior (Teoría de los juegos y el comportamiento económico), escrito conjuntamente con Oskar Morgenstern, que consideraba los juegos cooperativos de varios jugadores. La segunda edición de este libro proporcionó una teoría axiomática de la utilidad esperada, que permitió a los estadísticos matemáticos y a los economistas tratar la toma de decisiones bajo incertidumbre.
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Cuando se resuelve el equilibrio de un modelo (como un equilibrio nash subjuego perfecto), el libro supondrá que en ese equilibrio se da una determinada situación. Por ejemplo, en un modelo con algunas empresas que fijan los precios y algunos consumidores que tienen que tomar la decisión de comprar un producto, podría asumir que en el equilibrio, todos los consumidores compran.
Este es un concepto que he visto que confunde a mucha gente cuando lo encuentra por primera vez. Sin embargo, es completamente perfecto suponer que algo ocurrirá en el equilibrio, utilizar ese hecho para caracterizar el equilibrio y, a continuación, comprobar que tu suposición se cumple. Esto se llama a veces adivinar y verificar. Recuerda que un equilibrio tiene una definición muy precisa, es un conjunto de estrategias que satisfacen algunas condiciones. Si las encuentras y satisfacen las condiciones, no importa realmente cómo las hayas encontrado.
Puede parecer una tontería limitarse a adivinar las propiedades de un equilibrio y esperar lo mejor. Pero, en realidad, hacer buenas conjeturas es difícil, así que tiene su mérito. Siempre que compruebes que tu equilibrio satisface la propiedad supuesta (o adivinada), entonces tu suposición original está verificada.