El equilibrio de nash

Dilema del prisionero

En la teoría de los juegos, la estrategia de un jugador es cualquiera de las opciones que elige en un escenario en el que el resultado depende no sólo de sus propias acciones, sino de las acciones de los demás.[1] La disciplina se refiere principalmente a la acción de un jugador en un juego que afecta al comportamiento o las acciones de otros jugadores. Algunos ejemplos de “juegos” son el ajedrez, el bridge, el póquer, el monopolio, la diplomacia o el acorazado[2] La estrategia de un jugador determinará la acción que éste realizará en cualquier fase del juego. Al estudiar la teoría de los juegos, los economistas recurren a una óptica más racional para analizar las decisiones, en lugar de las perspectivas psicológicas o sociológicas que se adoptan cuando se analizan las relaciones entre las decisiones de dos o más partes en diferentes disciplinas.

El concepto de estrategia se confunde a veces (erróneamente) con el de jugada. Una jugada es una acción realizada por un jugador en algún momento de la partida (por ejemplo, en ajedrez, mover el alfil blanco a2 a b3). Una estrategia, en cambio, es un algoritmo completo para jugar, que indica al jugador qué hacer en cada situación posible a lo largo de la partida. Es útil pensar en una “estrategia” como una lista de direcciones, y en una “jugada” como una única vuelta en la propia lista de direcciones. Esta estrategia se basa en la recompensa o el resultado de cada acción. El objetivo de cada agente es considerar su recompensa en función de la acción de sus competidores. Por ejemplo, el competidor A puede suponer que el competidor B entra en el mercado. A partir de ahí, el competidor A compara los beneficios que recibe al entrar y al no entrar. El siguiente paso es suponer que el competidor B no entra en el mercado y, a continuación, considerar qué recompensa es mejor en función de si el competidor A decide entrar o no entrar. Esta técnica puede identificar estrategias dominantes en las que un jugador puede identificar una acción que puede tomar sin importar lo que haga el competidor para tratar de maximizar la recompensa. Esto también ayuda a los jugadores a identificar el equilibrio de Nash, que se analiza con más detalle a continuación.

Juego secuencial

En 1950, John Nash -el matemático que luego apareció en el libro y la película “Una mente maravillosa”- escribió un artículo de dos páginas que transformó la teoría de la economía. Su idea crucial, aunque totalmente simple, era que cualquier juego competitivo tiene una noción de equilibrio: una colección de estrategias, una para cada jugador, de tal manera que ningún jugador puede ganar más cambiando unilateralmente a una estrategia diferente.

El concepto de equilibrio de Nash, que le valió el Premio Nobel de Economía en 1994, ofrece un marco unificado para entender el comportamiento estratégico no sólo en economía, sino también en psicología, biología evolutiva y otros muchos campos. Su influencia en la teoría económica “es comparable a la del descubrimiento de la doble hélice del ADN en las ciencias biológicas”, escribió Roger Myerson, de la Universidad de Chicago, otro Nobel de Economía.

Cuando los jugadores están en equilibrio, nadie tiene motivos para desviarse. Pero, ¿cómo llegan los jugadores al equilibrio en primer lugar? A diferencia de lo que ocurre, por ejemplo, con una pelota que rueda cuesta abajo y se detiene en un valle, no hay ninguna fuerza evidente que guíe a los jugadores hacia el equilibrio de Nash.

Juego simultáneo

La teoría de los juegos es la ciencia de la toma de decisiones estratégicas en situaciones que implican a más de un actor. Puede tratarse de juegos reales o de situaciones de la vida real, como batallas militares, interacciones comerciales o decisiones de gestión. Según la teoría de los juegos, la mejor estrategia para un individuo puede ser o no la misma en función de lo que esté en juego y teniendo en cuenta el movimiento probable del otro jugador implicado.

A veces, la mejor estrategia será la misma independientemente de cómo actúen los demás jugadores. Esto se conoce como estrategia dominante. Por otro lado, existe el llamado equilibrio de Nash, que no describe una estrategia concreta en sí, sino una especie de entendimiento mutuo: cada jugador entiende las estrategias óptimas del otro y las tiene en cuenta a la hora de optimizar su propia estrategia.

Una solución de estrategia dominante también puede estar en equilibrio de Nash, aunque los principios subyacentes de una estrategia dominante hacen que el análisis de Nash sea algo superfluo. En otras palabras, los incentivos de costes y beneficios no cambian en función de otros actores.

Teoría de los juegos de equilibrio de nash

La paradoja de Braess es la observación de que añadir una o más carreteras a una red de carreteras puede ralentizar el flujo global de tráfico a través de ella. La paradoja fue descubierta por el matemático alemán Dietrich Braess en 1968.

La paradoja puede tener analogías con las redes eléctricas y los sistemas biológicos. Se ha sugerido que, en teoría, la mejora de una red que funciona mal podría lograrse eliminando ciertas partes de la misma. La paradoja se ha utilizado para explicar casos de mejora del flujo de tráfico cuando se cierran las principales carreteras existentes.

Dietrich Braess, matemático de la Universidad del Ruhr (Alemania), se dio cuenta de que el flujo de una red de carreteras podía verse obstaculizado por la adición de una nueva vía, cuando trabajaba en la modelización del tráfico. Su idea era que si cada conductor toma la decisión óptima e interesada sobre qué ruta es la más rápida, podría elegirse un atajo con demasiada frecuencia para que los conductores tuvieran los tiempos de viaje más cortos posibles. Más formalmente, la idea que subyace al descubrimiento de Braess es que el equilibrio de Nash puede no equivaler al mejor flujo global a través de una red[1].